一、科学计数法

光速 = 2.99792458 × 10⁸

一个数被拆成了三部分：

• 符号（正）

• 有效数字（2.99792458）

• 10 的几次方（8）

比如 5.5 这个十进制数，转成二进制是 101.1，可以写成：

+ 1.011 × 2²

同样的也被拆分成：

• 符号：正

• 有效数字：1.011

• 指数：2

二、IEEE754帧格式

简单来说

[ 符号 (1位) ] [ 指数部分 (若干位) ] [ 尾数部分 (若干位) ]

三、进制转换

例如：-6.125

• 第一步（将十进制转化成科学计数法）：
  (-6.125)10----->(110.001)2------->(1.10001 * 22)2

• 第二步 （指数加偏置）：
  指数（2）+偏置值（127）=（129）10------>(1000 0001)2

• 第三步（按照帧格式落座）

符号   指数              尾数（10001）
1    10000001 10001000000000000000000

尾数的隐含位：因为二进制有效数字的开头永远是 1（比如 1.011），所以这个 1 大家就不存了，直接把它默认带上，这样能多存一位精度。
指数部分用 8 位存储，范围是 0~255，去掉全 0 和全 1 两个特殊值，有效范围是 1~254。为了让正负指数都能表示，取中间值 127 作为零点——指数 = 实际指数 + 127。

边界情况

反向推导

四、IEEE的相关内容

1、在讨论之前：

↑ 数学中的整数是一个一个的, 想象绿色指针必须一次走一格

↑ 数学中的小数是连续的, 想象绿色指针可以无极调节, 想走到哪儿走到哪儿

↑ 计算机中存储的小数是一个一个的, 绿色指针必须一次走一格, 就像整数那样
这就引发了精度的问题, 比如上图中, 我们无法在计算机中存储0.3, 因为绿色指针只能一次走一格, 要么在0.234, 要么就到了0.468...

当然, 我们也可以增加计算机存储小数的精度, 或者说缩小点与点之间的间隔:

理解角度：

我们说过, 32位浮点数在内存中是这样表示的: 1位符号位, 8位指数位, 23位尾数位
事实上尾数位是24位, 因为在尾数位前还隐藏了一个整数部分1. 或 0.
仔细想一下, 浮点数内存的三个部分中:

• 符号位: 用于控制正负号

• 指数位: 控制指数, 其实也就是控制小数点的移动

• 尾数位: 其实真正控制精度的, 或者说真正记录状态的, 只有尾数位.

在24位尾数中，共包含2^24种状态, 或者说能精确记录2^24种不同的状态:
如果你准备记录2^24 + 1种状态, 那尾数就不够用了. 或者说就不能满足你对精度的需求了.

对于 float f = xxx; 其中xxx是个数值, 不管xxx你是用什么进制书写, 只要是使用32位浮点数作为容器, 就最多只能精确记录2^24种状态,即16,777,216个组合数

尾数 24 位二进制，能排出多少种不同的组合？

0000 0000 0000 0000 0000 0000 ← 第 1 种

0000 0000 0000 0000 0000 0001 ← 第 2 种

0000 0000 0000 0000 0000 0010 ← 第 3 种

...

1111 1111 1111 1111 1111 1111 ← 第 16,777,216 种

一共 2^24 = 16,777,216 种。

因此问题变成了：16,777,216 种状态，能撑起几位十进制精度？

• 尾数就是1-2之间，而 16,777,216是说明这之间有多少个可以确定的值
  总结来说：超过 7 个数字的东西，丢给 float，后面的数字就不归我管了。、
  由此引出舍入规则

2.舍入规则：

FPU 的默认模式：就近舍入，偶数优先

离上一个蓝点近 → 选上一个
离下一个蓝点近 → 选下一个
刚好在正中间 → 选末尾是偶数的那个

• 2.3 → 2 （离 2 近）

• 2.8 → 3 （离 3 近）

• 2.5 → 2 （正中间 2 是偶数，3 是奇数，选 2）

• 3.5 → 4 （正中间 3 是奇数，4 是偶数，选 4）

1.010 1 → 1.010 （1 开头，离上面近，向上舍）

1.010 0 110 → 1.010 （0 开头，离下面近，向下舍）

1.010 1 000 → 1.010 （正中间！末尾 010 是偶数，保持）

1.011 1 000 → 1.100 （正中间！末尾 011 是奇数，进位成 100 偶数）

快速判断

你要保留 3 位小数：

1.010 | 1 000

    ↑   ↑  ↑
保留位 guard sticky

(第一位)(后面所有位或起来)

guard=0 → 砍掉，啥也不干

guard=1 且后面有1 → 进 1

guard=1 且后面全0 → 看保留位末尾：偶不动，奇进 1

1.010 | 1001

	  │ └── sticky=1（后面有 1）
	  └──── guard=1
guard=1, sticky=1 → 进 1 → 存入1.011 

到此我们就可以解释精度损失问题

精度损失

5.5 → 二进制 101.1 → 1.011 × 2²  

0.1 → 二进制 0.000110011001100...（无限循环）
    → 尾数只有 23 位，后面全截断
    → 存进去的就不是真正的 0.1
    → 0.1 + 0.2 ≠ 0.3

详细计算：
	(0.2)10---->(0.00110011001100110011001...)2--->1.1001 1001 1001 ... × 2^(-3)
	(0.1)10---->(0.00110011001100110011001...)2--->1.1001 1001 1001 ... × 2^(-4)
	(0.3)10---->(0.01001100110011001100110...)2--->1.0011 0011 0011 ... × 2^(-2)
	如果在此处均由 float 存储
0.1
	符号位->0
	指数---> -4 + 127 = 123 = 0111 1011
	尾数（含隐含位，共24位）：1.1001 1001 1001 1001 100||||1 100 1 1...
	因此保留小数点后23位，guard为1后面有1，进1
	存储值为：
	0 01111011 100110011001100110011010（最后一位补0）
	
	
0.2
	符号位->0
	指数---> -3 + 127 = 124 = 0111 1100
	尾数（含隐含位，共24位）：1.1001 1001 1001 1001 100||||1 100 1 1...
	因此保留小数点后23位，guard为1后面有1，进1
	存储值为：
	0 01111011 100110011001100110011010（最后一位补0）
	
0.3
	符号位->0
	指数---> -2 + 127 = 125 = 0111 1101
	尾数（含隐含位，共24位）：1.1001 1001 1001 1001 100||||1 100 1 1...
	因此保留小数点后23位，guard为1后面有1，进1
	存储值为：
	0 01111101 00110011001100110011010（最后一位补0）

因此：0.1+0.2 !=0.3

3、规格数，非规格数, ±infinity, NaN(特殊数)：

根据IEEE754的规定, 按照尾数位隐藏的整数部分是 1. 还是0. 可以将浮点数划分为两类: normal number(规格数) 和 subnormal number(非规格数)

规格数:

就是尾数位隐藏的整数部分是1.的数, 这种数叫做normal number, 可以理解为"正常的数"
举例: 20.5在内存中表示为: 0 1000 0011 0100 1000 0000 0000 000

非规格数:

引入subnormal number这个概念, 是为了在浮点数下溢时, 可以逐位的损失精度, 以尽可能精确的表达0附近的极小数。
IEEE754规定: 如果将指数位全部填充为0, 则表示这个数是个subnormal number

特殊数：

当指数位全部被1填充, 即指数位表示的值为255时, 用于表示这个浮点数处在一种非正常数(non-number)的状态: 即这个数可能是±infinity或NaN.

注: Infinity和NaN是两个特殊数, 分别表示无穷和Not a Number.

所以: 当你看到类似于  11111111 ** 这样内存状态的数时, (即指数位全部为1的数), 就应该知道, 这是个non-number, 它用于表示特殊数.

1、首先, 如何区分这三种状态

其实这三种状态是通过指数部分区分的, 而且很容易区分.

以32位浮点数为例, 其内存状态分为3部分:

1位符号位 8位指数位 23位尾数位

其中, 如果8位指数位全为0, 就代表当前数是个非规格数. 或者说, 形如  00000000 ** 格式的数就是非规格数.

如果8位指数位全为1, 就代表当前数是个特殊数. 或者说, 形如  11111111 ** 格式的数就是特殊数.

如果8位指数不全为0, 也不全为1(也就是除去以上两种状态外, 剩下的所有状态), 这个数就是规格数.

随便几个例子: 10101100 **就是一个规格数

可见: 非规格数和特殊数是两种特殊状态, 规格数则是非常常见的状态

2 我们为什么要有这些特殊数？

• 规格数的局限性: 无法表示 0 和 及其靠近0 的数
  32位浮点数的取值范围就是:203
  我们可以看出，这个数字是始终无法等于零或者无限接近于0的

也就是说使用规格数时, 我们除了无法表示0, 也无法表示(0, 2^-167)之间的, 靠近0的极小数...

这个局限性将由非规格数解决.

2、 非规格数

从规格数看起，指数部分最小为（1）2，1-127，即（-126）10，也就是2的-126次幂，再也小不下去了

非规格数指数位全 0，但按规则它的实际指数固定为 −126，尾数前面隐含的是 0.。
也就是说，尾数可以取 0 ~ 0.999…9（二进制）

这就是非规格数的作用: 用于表示0和靠近0的数, 用于和规格数"珠联璧合", 形成一个完整的取值范围.
非规格数 "一点点逐渐变大, 最后其最大值平稳的衔接上规格数的最小值", 这种特性在IEEE754中被叫做逐渐溢出(gradual underflow)

所以, 即便把非规格数与规格数放在一起审视, ieee754浮点数表盘上的蓝点依旧是越靠近0越密集, 越靠近∞越稀疏

五、参考文章

IEEE 754 - 2019 浮点算数标准
IEEE754详解-CSDN博客

受限于个人水平，文中难免有理解不到位或笔误之处。恳请各位大佬不吝赐教，欢迎邮件交流：sharkey_z@163.com